热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

气体动力循环

等熵，体积比: T₂/T₁ = r^k−1
等熵，压力比: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
奥托循环效率: η = 1 − 1/r^k−1
狄塞尔循环效率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
布雷顿循环效率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
吸热量: 奥托：c_v(T₃ − T₂) 狄塞尔、布雷顿：c_p(T₃ − T₂)
布雷顿循环净功: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
等熵效率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空气标准: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 370 g O₂，温度为 80 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 370 gM = 32 g/molV = 5 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 1000 kPa 和 60 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.能量衡算中等

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Ct: 25 → 75 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.热机和制冷机中等

一台热机在 600 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2300 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 600 °CT_L = 5 °CQ_H = 2300 kJ

W_max = kJ

6.热机和制冷机困难

一台热泵从 7 °C 的热源吸热，向 20 °C 的供暖系统提供 12.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 60%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 20 °CT_L = 7 °Cη_II = 60%Q̇_H = 12.5 kW

Ẇ = kW

7.气体动力循环中等

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 17，预胀比 r_c = v₃/v₂ = 2.2。压缩开始时空气温度为 305 K。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求每千克空气的吸热量 q_in，以 kJ/kg 计。

r = 17r_c = 2.2T₁ = 305 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.气体动力循环困难

一个理想布雷顿循环的压气机压比为 14。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求其热效率 η，以百分比计。

r_p = 14k = 1.4

η = %

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 6790 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 370/32 = 11.56 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

压强

P = nRT/V = 11.56·8.314·353.1/0.005 = 6790 kPa

答案

P = 6790 kPa

2.理想气体定律

答案: ρ = 5.791 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 1000·16.04/(8.314·333.1) = 5.791 kg/m³

答案

ρ = 5.791 kg/m³

3.能量衡算

答案: t_out = 40.07 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·3.6·(170 − 100) = 126 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 126/(2·4.18) = 40.07 °C

答案

t_out = 40.07 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 3.294 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 2.5·3.6·(170 − 80) = 810 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.15)·810 = 688.5 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 688.5/(4.18·50) = 3.294 kg/s

答案

ṁ_c = 3.294 kg/s

5.热机和制冷机

答案: W_max = 1567 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/873.1 = 68.14 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6814·2300 = 1567 kJ

答案

W_max = 1567 kJ

6.热机和制冷机

答案: Ẇ = 0.9239 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 280.1) = 22.55

COP = 0.6·22.55 = 13.53

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 12.5/13.53 = 0.9239 kW

答案

Ẇ = 0.9239 kW

7.气体动力循环

答案: q_in = 1142 kJ/kg

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 r_c = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·r^k−1，T₃ = r_c·T₂，q_in = c_p·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))。

温度

T₂ = 305·17^0.4 = 947.3 K

T₃ = 2.2·947.3 = 2084 K

定压吸热量

q_in = 1.005·(2084 − 947.3) = 1142 kJ/kg

答案

q_in = 1142 kJ/kg

8.气体动力循环

答案: η = 52.95 %

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 r_p = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k，T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k，η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k。净功 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 w_s/η_c，涡轮输出 η_t·w_s。

热效率

η = 1 − 1/14^0.2857 = 1 − 1/2.126 = 52.95%

答案

η = 52.95%

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