热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

气体动力循环

等熵，体积比: T₂/T₁ = r^k−1
等熵，压力比: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
奥托循环效率: η = 1 − 1/r^k−1
狄塞尔循环效率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
布雷顿循环效率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
吸热量: 奥托：c_v(T₃ − T₂) 狄塞尔、布雷顿：c_p(T₃ − T₂)
布雷顿循环净功: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
等熵效率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空气标准: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 380 g He，温度为 90 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 380 gM = 4.003 g/molV = 20 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 850 kPa 和 80 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 850 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.能量衡算中等

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Cṁ_c = 1.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热轻油在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 150 °Ct: 30 → 85 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.热机和制冷机中等

一台热机在 500 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2600 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 500 °CT_L = 15 °CQ_H = 2600 kJ

W_max = kJ

6.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 750 °C 的热源吸收 200 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -20 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 750 °CT₀ = 27 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 200 kW

Q̇_L = kW

7.气体动力循环中等

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 16，预胀比 r_c = v₃/v₂ = 2。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求其热效率 η，以百分比计。

r = 16r_c = 2k = 1.4

η = %

8.气体动力循环困难

一个理想布雷顿循环的压气机压比为 20。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求其热效率 η，以百分比计。

r_p = 20k = 1.4

η = %

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 14331 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 380/4.003 = 94.93 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

压强

P = nRT/V = 94.93·8.314·363.1/0.02 = 14331 kPa

答案

P = 14331 kPa

2.理想气体定律

答案: ρ = 12.74 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

密度

ρ = 850·44.01/(8.314·353.1) = 12.74 kg/m³

答案

ρ = 12.74 kg/m³

3.能量衡算

答案: t_out = 66.7 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 3·2.44·(140 − 100) = 292.8 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 292.8/(1.5·4.18) = 66.7 °C

答案

t_out = 66.7 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 0.5823 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 2.5·2.1·(180 − 150) = 157.5 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.15)·157.5 = 133.9 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 133.9/(4.18·55) = 0.5823 kg/s

答案

ṁ_c = 0.5823 kg/s

5.热机和制冷机

答案: W_max = 1631 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/773.1 = 62.73 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6273·2600 = 1631 kJ

答案

W_max = 1631 kJ

6.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 761.2 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/1023 = 0.7066

Ẇ = 0.7066·200 = 141.3 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 253.1/(300.1 − 253.1) = 5.386

Q̇_L = 5.386·141.3 = 761.2 kW

答案

Q̇_L = 761.2 kW

7.气体动力循环

答案: η = 61.38 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 r_c = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·r^k−1，T₃ = r_c·T₂，q_in = c_p·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))。

预胀比项

(2^1.4 − 1)/(1.4·(2 − 1)) = 1.171

热效率

η = 1 − 0.3299·1.171 = 61.38%

答案

η = 61.38%

8.气体动力循环

答案: η = 57.51 %

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 r_p = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k，T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k，η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k。净功 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 w_s/η_c，涡轮输出 η_t·w_s。

热效率

η = 1 − 1/20^0.2857 = 1 − 1/2.354 = 57.51%

答案

η = 57.51%

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