热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
280 g O₂V = 30 LT = 60 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 280 g O₂，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 280 gM = 32 g/molV = 30 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
He, M = 4.003 g/molP = 1000 kPaT = 20 °Cρ = ?

按理想气体处理，求He在 1000 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 1000 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧轻油 · 170 °C60 °C水 · 20 °Ct = ? °C

热轻油在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 120 °C90 °C水 · 15 °C75 °C · ṁ = ?损失 15%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 15 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 750 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 53%

一台热机从 750 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 53%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 750 °CTL = 25 °Cη = 53%
ηII = %
6.热机和制冷机困难
TH​ = 500 °CT0​ = 30 °CTL​ = 0 °CERWQ̇H​ = 130 kWQ̇L​ = ?

一台卡诺热机从 500 °C 的热源吸收 130 kW 热量，并向 30 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 0 °C 的冷冻室排出热量，也向 30 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇L。

TH = 500 °CT0 = 30 °CTL = 0 °CQ̇H = 130 kW
Q̇L = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 16，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.5。 压缩开始时空气温度为 300 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。

r = 16rc = 2.5T1 = 300 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一个理想布雷顿循环的压气机压比为 18。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

rp = 18k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 807.9 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 280/32 = 8.75 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 8.75·8.314·333.1/0.03 = 807.9 kPa

答案

P = 807.9 kPa
2.理想气体定律

答案: ρ = 1.642 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 1000·4.003/(8.314·293.1) = 1.642 kg/m³

答案

ρ = 1.642 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 66.05 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 2.5·2.1·(170 − 60) = 577.5 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 577.5/(3·4.18) = 66.05 °C

答案

tout = 66.05 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.7443 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 3·2.44·(120 − 90) = 219.6 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.15)·219.6 = 186.7 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 186.7/(4.18·60) = 0.7443 kg/s

答案

ṁc = 0.7443 kg/s
5.热机和制冷机

答案: ηII = 74.8 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 750 + 273.15 = 1023 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 298.1/1023 = 70.86 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 53/70.86 = 74.8 %

答案

ηII = 74.8 %
6.热机和制冷机

答案: Q̇L = 719.5 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 500 + 273.15 = 773.1 K
T0 = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = 0 + 273.15 = 273.1 K

热机的功

η = 1 − 303.1/773.1 = 0.6079
Ẇ = 0.6079·130 = 79.03 kW

制冷机排出的热量

COPR = 273.1/(303.1 − 273.1) = 9.105
Q̇L = 9.105·79.03 = 719.5 kW

答案

Q̇L = 719.5 kW
7.气体动力循环

答案: T3 = 2274 K

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

压缩终了

T2 = 300·160.4 = 909.4 K

定压加热

T3 = rc·T2 = 2.5·909.4 = 2274 K

答案

T3 = 2274 K
8.气体动力循环

答案: η = 56.21 %

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

热效率

η = 1 − 1/180.2857 = 1 − 1/2.284 = 56.21%

答案

η = 56.21%

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