热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
480 g O₂V = 50 LT = 60 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 480 g O₂，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 480 gM = 32 g/molV = 50 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的N₂从 400 kPa、20 L、10 °C 变化到 400 kPa 和 240 °C。求新的体积 V2。

P1 = 400 kPaV1 = 20 LT1 = 10 °CP2 = 400 kPaT2 = 240 °C
V2 = L
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 170 °C80 °C水 · 10 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 170 → 80 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 120 °C90 °C水 · 25 °C90 °C · ṁ = ?损失 5%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 25 → 90 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 225 °CTL​ = ?EQH​ = 2900 kJQL​ = 1910 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 225 °C 的热源吸收 2900 kJ 热量，放出 1910 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 225 °CQH = 2900 kJQL = 1910 kJ
TL = °C
6.热机和制冷机困难
TH​ = 55 °CTL​ = 0 °CHPQ̇H​ = 19.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵从 0 °C 的热源吸热，向 55 °C 的供暖系统提供 19.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 60%。求它消耗的电功率 Ẇ。

TH = 55 °CTL = 0 °CηII = 60%Q̇H = 19.5 kW
Ẇ = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 17，预胀比 rc = v₃/v₂ = 1.8。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

r = 17rc = 1.8k = 1.4
η = %
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 10。空气以 310 K 进入压气机，以 1500 K 进入涡轮。 两台机器都是等熵的。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 10T1 = 310 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 830.9 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 480/32 = 15 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 15·8.314·333.1/0.05 = 830.9 kPa

答案

P = 830.9 kPa
2.理想气体定律

答案: V2 = 36.25 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 283.1 K, T2 = 513.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(400/400)·(513.1/283.1) = 36.25 L

答案

V2 = 36.25 L
3.能量衡算

答案: tout = 27.51 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·2.44·(170 − 80) = 109.8 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 109.8/(1.5·4.18) = 27.51 °C

答案

tout = 27.51 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.2559 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1·2.44·(120 − 90) = 73.2 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.05)·73.2 = 69.54 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 69.54/(4.18·65) = 0.2559 kg/s

答案

ṁc = 0.2559 kg/s
5.热机和制冷机

答案: TL = 54.94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 225 + 273.15 = 498.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 498.1·1910/2900 = 328.1 K = 54.94 °C

答案

TL = 54.94 °C
6.热机和制冷机

答案: Ẇ = 5.447 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 55 + 273.15 = 328.1 K
TL = 0 + 273.15 = 273.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COPmax = 328.1/(328.1 − 273.1) = 5.966
COP = 0.6·5.966 = 3.58

输入功率

Ẇ = Q̇H/COP = 19.5/3.58 = 5.447 kW

答案

Ẇ = 5.447 kW
7.气体动力循环

答案: η = 63.29 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

预胀比项

(1.81.4 − 1)/(1.4·(1.8 − 1)) = 1.14

热效率

η = 1 − 0.322·1.14 = 63.29%

答案

η = 63.29%
8.气体动力循环

答案: wnet = 436.7 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2 = 310·100.2857 = 598.5 K
T4 = 1500/100.2857 = 776.9 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(598.5 − 310) = 290 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 776.9) = 726.7 kJ/kg

净功

wnet = 726.7 − 290 = 436.7 kJ/kg

答案

wnet = 436.7 kJ/kg

回功比：wc/wt = 39.9%。

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