弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
要使单摆的周期为 2.3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。
T = 2.3 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.弹簧与单摆困难
一个连在 k = 420 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 11 cm 的振幅振动。 求物体距平衡位置 7 cm 时弹簧中储存的能量 U。
k = 420 N/mA = 11 cmx = 7 cm
U = J
3.波、声与光学中等
一个高 1 cm 的物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 30 cm 处。求像高 hi（倒立的像为负）。
ho = 1 cmdo = 30 cmf = 12 cm
hi = cm
4.波、声与光学困难
静止的传感器向以 20 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。
f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: L = 1.315 m
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求摆长
L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.3/2π)² = 1.315 m
答案
L = 1.315 m
2.弹簧与单摆
答案: U = 1.029 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
总能量
E = ½·k·A² = ½·420·0.11² = 2.541 J
x 处的弹簧能量
U = ½·k·x² = ½·420·0.07² = 1.029 J
答案
U = 1.029 J
3.波、声与光学
答案: hi = −0.6667 cm
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
薄透镜方程
1/di = 1/f − 1/do = 1/12 − 1/30
di = 20 cm
放大率与像高
m = −20/30 = −0.6667
hi = −0.6667·1 = −0.6667 cm
答案
hi = −0.6667 cm
4.波、声与光学
答案: fb = 2477 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
汽车处的频率
f′ = 20000·(343 + 20)/343 = 21166 Hz
回波的频率
f″ = f′·343/(343 − 20) = 22477 Hz
拍频
fb = |f″ − f| = 2477 Hz
答案
fb = 2477 Hz
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