最优化练习卷（附答案）

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一位农民有 200 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 80 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 35q 欧元。 求最大周利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €40 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 500 + 28q + 0.02q² 欧元。 求最大利润 P。