最优化练习卷（附答案）

用 48 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 108000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 180 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 600 + 70q 欧元。 求使利润最大的价格 p。

一家小企业以固定的市场价格每件 €25 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 1800 + 8q + 0.02q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。