最优化练习卷（附答案）

用 72 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

用一张 18 cm × 48 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 250 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一家小企业以固定的市场价格每件 €40 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 200 + 18q + 0.2q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 160 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 110q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。