最优化练习卷（附答案）

用 48 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

用一张 36 cm × 36 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 140 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 19500 + 15q 欧元。 求使利润最大的价格 p。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 80 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 40q 欧元。 求使利润最大的价格 p。