最优化练习卷（附答案）

用 240 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

用一张 10 cm × 16 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 250 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €8。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家小企业以固定的市场价格每件 €35 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 1100 + 14q + 0.02q² 欧元。 求最大利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €35 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 24q + 0.05q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。