最优化练习卷（附答案）

用一张 18 cm × 18 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 160 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 5000 + 60q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 60 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 10q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。