最优化练习卷（附答案）

用一张 9 cm × 24 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

用一张 48 cm × 48 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一块 400 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €12。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家剧院每场以每张 €20 售出 390 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求使收入最大的票价 p。

一家小企业以固定的市场价格每件 €75 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 60q + 0.2q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。