最优化练习卷（附答案）

一位农民有 40 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

用一张 24 cm × 24 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €12。 求使造价最低的临街边长度 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 750 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一家剧院每场以每张 €15 售出 1075 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 25 张（每降低 €1，就多 25 张）。 求每场的最大收入 R。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 170 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 105q 欧元。 求最大周利润 P。