最优化练习卷（附答案）

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用 48 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

一块 400 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €5。 求使造价最低的临街边长度 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 150 − 0.5q 欧元/件，成本为 C(q) = 2200 + 65q 欧元。 求使利润最大的价格 p。

一家剧院每场以每张 €20 售出 340 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求使收入最大的票价 p。