最优化练习卷（附答案）

用一张 30 cm × 48 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

用 240 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一块 1200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €12。 求使造价最低的临街边长度 x。

一块 800 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €10。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 120 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 4000 + 20q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 90 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 300 + 45q 欧元。 求使利润最大的价格 p。