最优化练习卷（附答案）

用一张 12 cm × 12 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

用 360 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 250 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一家小企业以固定的市场价格每件 €55 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 4600 + 12q + 0.05q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家剧院每场以每张 €12 售出 160 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求使收入最大的票价 p。