最优化练习卷（附答案）

用 120 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一位农民有 320 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 108000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 120 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 5600 + 45q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家小企业以固定的市场价格每件 €70 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 39200 + 14q + 0.01q² 欧元。 求最大利润 P。