最优化练习卷（附答案）

用 72 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

用一张 24 cm × 24 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 90 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 55q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 160 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 1800 + 105q 欧元。 求最大周利润 P。