最优化练习卷（附答案）

一位农民有 160 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

用一张 30 cm × 30 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一家剧院每场以每张 €25 售出 2150 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 50 张（每降低 €1，就多 50 张）。 求每场的最大收入 R。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 140 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 300 + 110q 欧元。 求使利润最大的价格 p。