最优化练习卷（附答案）

用一张 21 cm × 45 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一位农民有 120 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一块 1200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 200 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 5100 + 70q 欧元。 求使利润最大的价格 p。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 190 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 13600 + 25q 欧元。 求使利润最大的价格 p。