最优化练习卷（附答案）

一位农民有 320 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一位农民有 240 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €8。 求使造价最低的临街边长度 x。

一块 800 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 150 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 400 + 110q 欧元。 求最大周利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €30 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 10q + 0.5q² 欧元。 求最大利润 P。