最优化练习卷（附答案）

一位农民有 160 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用 96 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 250 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一家小企业以固定的市场价格每件 €35 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 2300 + 10q + 0.02q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 160 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 15q 欧元。 求使利润最大的价格 p。