最优化练习卷（附答案）

一位农民有 120 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

一位农民有 200 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 250 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 200 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 200 + 140q 欧元。 求最大周利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €45 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 200 + 30q + 0.1q² 欧元。 求最大利润 P。