最优化练习卷（附答案）

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

用一张 30 cm × 30 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €5。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 90 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 1000 + 45q 欧元。 求使利润最大的价格 p。

一家小企业以固定的市场价格每件 €65 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 900 + 4q + 0.2q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。