最优化练习卷（附答案）

用一张 36 cm × 36 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

用一张 18 cm × 48 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €8。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家小企业以固定的市场价格每件 €65 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 1000 + 56q + 0.01q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 100 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 400 + 30q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。