最优化练习卷（附答案）

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用 120 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €5。 求最低总造价 C。

一家小企业以固定的市场价格每件 €35 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 800 + 12q + 0.1q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家小企业以固定的市场价格每件 €50 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 600 + 40q + 0.02q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。