最优化练习卷（附答案）

用一张 18 cm × 48 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

用 120 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 108000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一家小企业以固定的市场价格每件 €30 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 8q + 0.5q² 欧元。 求最大利润 P。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 100 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 1800 + 40q 欧元。 求最大周利润 P。