最优化练习卷（附答案）

一位农民有 40 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用一张 42 cm × 42 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 500 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 13500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一家小企业以固定的市场价格每件 €60 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 1000 + 28q + 0.05q² 欧元。 求最大利润 P。

一家剧院每场以每张 €25 售出 340 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求每场的最大收入 R。