最优化练习卷（附答案）

一位农民有 40 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

用一张 24 cm × 24 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。

一家小企业以固定的市场价格每件 €45 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 2100 + 8q + 0.1q² 欧元。 求最大利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €40 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 500 + 30q + 0.02q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。