最优化练习卷（附答案）

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用一张 48 cm × 48 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 108000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 120 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 20q 欧元。 求最大周利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €40 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 8q + 0.5q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。