最优化练习卷（附答案）

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

用一张 21 cm × 45 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一块 1200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €5。 求使造价最低的临街边长度 x。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €5。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 90 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 20q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家剧院每场以每张 €12 售出 1600 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 50 张（每降低 €1，就多 50 张）。 求每场的最大收入 R。