最优化练习卷（附答案）

用 96 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

一位农民有 160 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 140 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 200 + 70q 欧元。 求使利润最大的价格 p。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 80 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 1000 + 40q 欧元。 求使利润最大的价格 p。