最优化练习卷（附答案）

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

用一张 48 cm × 48 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 500 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 13500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一家剧院每场以每张 €15 售出 575 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 25 张（每降低 €1，就多 25 张）。 求使收入最大的票价 p。

一家小企业以固定的市场价格每件 €45 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 30q + 0.25q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。