التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (−5x² − 6x + 4)/(x² + 2x + 3).

f(x) = (−5x² − 6x + 4)/(x² + 2x + 3)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(x² + 2). أوجد f′(−1).

f(x) = ln(x² + 2)x = −1

f′(−1) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ + 3x² + 1. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ + 3x² + 1

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 1000 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد نصف القطر r الذي يستهلك أقل كمية من المادة.

V = 1000 cm³

r = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 150 − 1q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 1100 + 55q يورو. أوجد الإنتاج الأسبوعي q الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 150 − 1qC = 1100 + 55q

q = وحدة

7.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = 2x من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 2x0 ≤ x ≤ 3

V =

8.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −5

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(−5 + (−6)/x + 4/x²)/(1 + 2/x + 3/x²)

اجعل x → ∞

L = −5/1 = −5

الإجابة

L = −5

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 1,125

التطبيق الأول

3·sin 3x/(8x) → 0/0

التطبيق الثاني

9·cos 3x/8

عوّض x = 0

L = 9/8 = 1,125

الإجابة

L = 1,125

3.المشتقات

الإجابة: f′(−1) = −0,6667

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 2x/(x² + 2)

عوّض

f′(−1) = −2/3 = −0,6667

الإجابة

f′(−1) = −0,6667

4.المشتقات

الإجابة: x = −2

المشتقة

f′(x) = 3x² + 6x = 3·(x² + 2x)

حُلّ f′(x) = 0

x = −2 أو x = 0

أيهما أي

f″(x) = 6x + 6: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−2) = −6, f″(0) = 6

x = −2

الإجابة

x = −2

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: r = 5,419 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

الارتفاع والمساحة

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm

A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

الإجابة

r = 5,419 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: q = 47,5 وحدة

دالة الربح

P(q) = (150 − 1q)·q − (1100 + 55q) = −q² + 95q − 1100

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −2 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 95/2 = 47,5

السعر والربح

p = 150 − 1·47,5 = €102,5

P = 95·47,5 − 1·47,5² − 1100 = €1156

الإجابة

q = 47,5

7.التكاملات

الإجابة: V = 113,1

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀³ 4x² dx

كامل

V = π·4·3³/3 = 113,1

الإجابة

V = 113,1

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 6 وارتفاعه 3 الحجم (1/3)πr²h = 113,1.

8.التكاملات

الإجابة: I = 0,7183

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

الإجابة

I = 0,7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1