التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 2]

I =

2.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = x² و y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)!. جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = (k!)²·3ᵏ/(2k)!

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = cos x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 2 عند x = 1. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₂|.

f(x) = cos xn = 2x = 1M = 1

|R₂| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 2xy² + 4x² − 5y³ + 4xy، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (2, 1)، أي |∇f|.

f(x, y) = 2xy² + 4x² − 5y³ + 4xyP = (2, 1)

|∇f| =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

احسب I = ∬_R y dA، حيث R المنطقة بين القطع المكافئ y = x² والمستقيم y = 2x.

y = x²y = 2xf = y

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 383 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 440 °CT_a = 30 °CT(15) = 383 °C

k = min⁻¹

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + 2y = 9e^−t مع y(0) = 3. أوجد y(1).

y′ + 2y = 9e^−ty(0) = 3

y(1) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 1,264

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

عوّض الحدود

I = (e⁻¹ − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

الإجابة

I = 1,264

2.التكاملات

الإجابة: A = 4,5

نقاط التقاطع

x² = 3x → x = 0, x = 3

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

الإجابة

A = 4,5

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 0,75

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4

الخلاصة

L = 0,75 < 1

الإجابة

L = 0,75

L < 1، فالمتسلسلة تتقارب.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₂| = 0,1667

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₂| ≤ 1·1³/3! = 0,1667

الإجابة

|R₂| = 0,1667

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(1) − P₂(1)| = 0,0403.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: |∇f| = 22,02

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

المشتقات الجزئية

f_x = 2y² + 8x + 4y → f_x(2, 1) = 22

f_y = 4xy − 15y² + 4x → f_y(2, 1) = 1

طول التدرج

|∇f| = √(22² + 1²) = 22,02

الإجابة

|∇f| = 22,02

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 2,133

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

نقاط التقاطع

x² = 2x → x = 0, x = 2

التكامل الداخلي

∫_x²^2x y dy = [y²/2] = (4x² − x⁴)/2

التكامل الخارجي

I = ∫₀² (4x² − x⁴)/2 dx = 2,133

الإجابة

I = 2,133

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,009979 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−15k = 353/410

حلّ لإيجاد k

k = ln(410/353)/15 = 0,009979 min⁻¹

الإجابة

k = 0,009979 min⁻¹

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 2,499

عامل التكامل

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 9e^t

الحل العام

y = 9/1·e^−t + C·e^−2t = 9·e^−t + C·e^−2t

الشرط الابتدائي

3 = 9 + C → C = −6

احسب

y(1) = 9·0,3679 + (−6)·0,1353 = 2,499

الإجابة

y(1) = 2,499

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2