التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

2.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 9 − x² والمحور x.

y = 9 − x²

A =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)!. جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = (k!)²·3ᵏ/(2k)!

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3 للدالة f(x) = e^0,5x لتقريب f(2,5). أعطِ P₃(2,5).

f(x) = e^0,5xn = 3x = 2,5

P₃(2.5) =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = −2x²y² − 5x³ + 2y² + 3xy، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند P(2, −2) في الاتجاه نحو Q(0, −3).

f(x, y) = −2x²y² − 5x³ + 2y² + 3xyP = (2, −2)Q = (0, −3)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

للدالة f(x, y) = 2x² − xy + 2y² + 11x − 14y − 3 نقطة حرجة عند (−2, 3). احسب المميِّز D = f_xxf_yy − f_xy² هناك.

f(x, y) = 2x² − xy + 2y² + 11x − 14y − 3P = (−2, 3)

D =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,09 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 7 min.

T₀ = 86 °CT_a = 22 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 7 min

T = °C

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 8 kg من الملح؟

V = 200 Lm₀ = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min

t = min

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 6,963

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^0,5x/0,5

عوّض الحدود

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

الإجابة

I = 6,963

2.التكاملات

الإجابة: A = 36

الأصفار

9 − x² = 0 → x = ±3

كامل

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

الإجابة

A = 36

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 0,75

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4

الخلاصة

L = 0,75 < 1

الإجابة

L = 0,75

L < 1، فالمتسلسلة تتقارب.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₃(2.5) = 3,357

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₃(x) = 1 + 0,5x + 0,125x² + 0,02083x³

عوّض

P₃(2,5) = 1 + 1,25 + 0,78125 + 0,325521 = 3,357

الإجابة

P₃(2,5) = 3,357

القيمة الدقيقة هي f(2,5) = 3,490343؛ ويتناقص الخطأ 0,133572 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = 74,24

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = −4xy² − 15x² + 3y → f_x(2, −2) = −98

f_y = −4x²y + 4y + 3x → f_y(2, −2) = 30

متّجه الوحدة

|v| = √((−2)² + (−1)²) = 2,236

u = (−0,8944, −0,4472)

الضرب القياسي

D_uf = (−98)·(−0,8944) + 30·(−0,4472) = 74,24

الإجابة

D_uf = 74,24

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D = 15

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المشتقات الثانية

f_xx = 4, f_yy = 4, f_xy = −1

المميِّز

D = 4·4 − (−1)² = 15

→ نهاية صغرى محلية

الإجابة

D = 15

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 56,09 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 22 + 64·e^−0,09t

عوّض t

T(7) = 22 + 64·0,5326 = 56,09 °C

الإجابة

T = 56,09 °C

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 9,163 min

النتيجة

m(t) = 10 + (−5)·e^−t/10

حلّ لإيجاد t

e^−t/10 = (10 − 8)/(10 − 5) = 0,4

t = 10·ln(2,5) = 9,163 min

الإجابة

t = 9,163 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2