التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €2 000 في نهاية كل سنة لمدة 13 سنوات. معدّل الفائدة 4% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €2 000i = 4%n = 13

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €300 في نهاية كل شهر لمدة 22 سنوات. يدفع الحساب 7,2% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €3007,2% / 12N = 264

FV = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €8 000, €8 000, €8 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €28 000, €16 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 16 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 13 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 275 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 13P = €1 275YTM = 2,5%

c = %

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. يُباع بسعر €1 251. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7% (2×)n = 7P = €1 251

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 وديون قيمتها €1 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 1 000 000 من الأسهم بسعر €51,00 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 30%. معامل بيتا للسهم 1,2، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 9,5%. أوجد WACC.

β = 1,2r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 43, 48, 41, 10, 11, 31.

n = 6

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 90؟

μ = 60σ = 20x = 90

P =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 12 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,7، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 12p = 0,7k = 4

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 82 و 122,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 122,5

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة30%

x = درجة

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 12 مفردة متوسطها 58,5 وانحرافها المعياري s = 18. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 12x̄ = 58,5s = 1890%t(11) = 1,796

الحد الأعلى =

16.فترات الثقةصعبة

لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 0,9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.

n = 21s = 0,9 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 498,1 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,1s = 15n = 49

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 21. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 95%δ = 4σ = 21z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 33Σy = 461Σx² = 199Σy² = 36627Σxy = 2679

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 15؟

n = 5ŷ = 15

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 19971 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6006)/0,04 = 9,986

القيمة الحالية

PV = 2 000·9,986 = €19 971,30

الإجابة

PV = €19 971,30

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 192570 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·22 = 264

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(4,851 − 1)/0,006 = €192 569,90

الإجابة

FV = €192 569,90

دفعتَ بنفسك €79 200؛ والباقي فائدة.

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −1734 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 8 000/1,15 = 6 956,52

CF₂/(1 + 0,15)² = 8 000/1,322 = 6 049,15

CF₃/(1 + 0,15)³ = 8 000/1,521 = 5 260,13

اجمعها

NPV = €−1 734,20

الإجابة

NPV = €−1 734,20

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 8,144 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(5%) = 1 632,65

NPV(10%) = −909,09

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 5 + 5·1 632,65/(1 632,65 − (−909,09)) = 8,212%

بالضبط: NPV(8,144%) = 0 → IRR = 8,144%

الإجابة

IRR = 8,144%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 5,004 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,025)⁻¹³ = €725,42

الكوبون

C = (1275 − 725,42)/10,98 = €50,04

معدل الكوبون

c = 50,04/1000 = 5,004%

الإجابة

c = 5,004%

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 2,998 %

لكل فترة

C = €35,00, N = 14

الحل العددي

i = 1,499% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·1,499% = 2,998%

الإجابة

YTM = 2,998%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 11,04 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·12% + 0,1429·7%·(1 − 0,25) = 11,04%

الإجابة

WACC = 11,04%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 10,18 %

القيم السوقية

E = 1 000 000·€51,00 = €51 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,2·7% = 10,9%

الأوزان

V = €56 250 000, E/V = 0,9067, D/V = 0,09333

WACC

WACC = 0,9067·10,9% + 0,09333·4,5%·(1 − 0,3) = 10,18%

الإجابة

WACC = 10,18%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,57

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 184/6 = 30,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 12,33² + 17,33² + 10,33² + (−20,67)² + (−19,67)² + 0,3333² = 1373

الانحراف المعياري

s = √(1373/5) = 16,57

الإجابة

s = 16,57

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,6475

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

التباين

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

الإجابة

Var(X) = 0,6475

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,007798

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 495·0,7⁴·0,3⁸ = 495·0,2401·6,561 × 10⁻⁵ = 0,007798

الإجابة

P = 0,007798

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8181

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,5) − Φ(−1,2) = 0,9332 − 0,1151 = 0,8181

الإجابة

P = 0,8181

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 59,8 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 درجة

الإجابة

x = 59,8 درجة

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 67,83

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 11, t = 1,796

هامش الخطأ

E = 1,796·18/√12 = 9,332

الفترة

58,5 ± 9,332 → [49,17, 67,83]

الإجابة

الحد الأعلى = 67,83

16.فترات الثقة

الإجابة: σ = 1,3 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 20·0,9² = 16,2

حدّا σ²

16,2/34,17 = 0,4741

16,2/9,591 = 1,689

حدّ σ

σ = √1,689 = 1,3 µm

الإجابة

σ = 1,3 µm

فترة 95% لـ σ: [0,6885, 1,3] µm.

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,8867

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

إحصائية الاختبار

t = (498,1 − 500)/2,143 = −0,8867

الإجابة

t = −0,8867

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 299

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,645)·21/4)² = 298,3

قرّب إلى الأعلى

n = 299

الإجابة

n = 299

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9874

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 2679 − 33·461/6 = 143,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 36627 − 461²/6 = 1207

معامل الارتباط

r = 143,5/√(17,5·1207) = 0,9874

الإجابة

r = 0,9874

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 4,515

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 100/5 = 20

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

خط الانحدار

b = −33/10 = −3,3

a = 20 − (−3,3)·3 = 29,9

ŷ = 29,9 − 3,3·x

حلّ لإيجاد x

x = (15 − 29,9)/(−3,3) = 4,515

الإجابة

x = 4,515

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income