أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
تحتاج إلى €50 000 بعد 2 سنوات. يدفع حساب 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.
تودع €1 000 في بداية كل سنة لمدة 12 سنوات، والإيداع الأول اليوم. يدفع الحساب 3% سنويًا. كم سيكون في الحساب في نهاية السنة 12؟ أوجد FV.
تبلغ تكلفة مشروع €40 000 اليوم ويعود بـ €13 500 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. تكلفة رأس المال 6%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.
تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €35 500, €21 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.
تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 9 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 6%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 3%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.
سند متبقٍّ على استحقاقه 19 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 7%) يُباع بسعر €1 242. يستطيع المُصدِر استدعاءه بعد 5 سنوات بسعر استدعاء €1 070. أوجد العائد حتى الاستدعاء YTC بالنسبة المئوية.
لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €12 000 000 وديون قيمتها €3 000 000. تكلفة حقوق الملكية 8%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 6%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.
لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €41,00 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €980. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 21%. معامل بيتا للسهم 1,2، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 7%. أوجد WACC.
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 50, 43, 29, 31, 54, 37.
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 115.
يُرمى حجر نرد منتظم 4 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 3X + 5. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 9 منها عن 104,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
يُقاس ضغط الدم لـ 9 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 3,1 وانحرافها المعياري 6,2. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.
الانحراف المعياري للمجتمع 25. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 24. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 95,26. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ < 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.
اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1,5 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 7. أوجد أصغر حجم عينة n.
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 9.
الإجابة: PV = 46532 €
القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.
الإجابة: FV = 14618 €
القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.
كل إيداع يُستثمر سنة أطول.
الإجابة: DPB = 3,366 سنوات
فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.
الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,963 سنوات).
الإجابة: IRR = 9,394 %
صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.
تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.
يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.
الإجابة: HPR = −3,156 %
تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.
الإجابة: YTC = 3,029 %
تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.
العائد حتى الاستحقاق 4,998%. يتوقّع المستثمرون في سند بعلاوة أن يُستدعى، لذا العائد حتى الاستدعاء الأدنى هو الأكثر واقعية.
الإجابة: WACC = 7,3 %
تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).
الإجابة: WACC = 7,266 %
تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).
الإجابة: s = 10,13
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإجابة: z = 1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإجابة: P = 0,5177
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الإجابة: σY = 4,146
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 3·2,3 + 5 = 11,9.
الإجابة: P = 0,06681
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
الإجابة: P = 0,8665
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
الإجابة: E = 4,766 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الإجابة: n = 1692
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
الإجابة: p = 0,05705
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
الإجابة: n = 284
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
الإجابة: r² = 0,9841
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
نحو 98,41% من التباين في y يفسّره الخط.
الإجابة: ŷ = 15,05
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income