تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
القسمة
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

  1. قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
  2. اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
  4. للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية
P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة
Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية
S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة
pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
الطاقة
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة
Imax = V0√(C/L)
معامل الجودة
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
ترددات نصف القدرة
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r
RD = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة
e−Rt/(2L)

الطريقة

  1. أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
  2. حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
  3. استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
  4. في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

يُظهر المخطط z = 4 − j. مع w = 0,5∠90°، انقر على النقطة التي تمثل z/w.

z = 4 − jw = 0,5∠90°
  1. 1A (2 + j8)
  2. 2B (−1 − j4)
  3. 3C (−2 − j8)
  4. 4D (8 − j2)
2.الأعداد المركبةصعبة
ReIm11−1−122−2−2θz

جد الجزء الحقيقي لـ (1 + j2)⁴.

z = 1 + j2n = 4
Re(z⁴) =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
Vf0​ = 60 HzRL = 100 mHC = ?

دائرة RLC على التوالي مع L = 100 mH يجب أن ترنّ عند 60 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f0 = 60 HzL = 100 mH
C = µF
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
100 V500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 1 µFI

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 1 µF
I = A
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
P = 33 kWQSφ

يستهلك محرّك أحادي الطور 33 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.

P = 33 kWpf = 0,75V = 230 V
I = A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

يستهلك حِمل أحادي الطور 35 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 230 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد تيار الخط الجديد Inew.

P = 35 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
f|I|0,70711 kHzf1​ = ?f2​BW

ترنّ دائرة RLC على التوالي عند 1 kHz مع Q = 2,5. أوجد تردد نصف القدرة الأدنى f1 بدقة، بوحدة Hz.

f0 = 1 kHzQ = 2,5
f1 = Hz
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
VR = ?220 µHC

تستخدم دائرة رنين على التوالي ملفًا حثّيًا 220 µH. أي مقاومة توالٍ كلية R تعطي عرض نطاق 50 kHz؟

L = 220 µHBW = 50 kHz
R = Ω
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M30 kW, η = 90%cos φ = 0,88

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 30 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 90% ومعامل قدرته 0,88 متأخرًا. جهد خط المصدر 415 V. أوجد تيار الخط IL.

Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0,88VL = 415 V
IL = A
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 80 kW عند معامل قدرة 0,8 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 80 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​24 Vt = 0R = 10 ΩL10 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 75% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

Vs = 24 VR = 10 ΩL = 10 mH
t = ms
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​6 Vيُفتح عند t = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 10 kΩC33 µF+−vC​

المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 750 ms.

Vs = 6 VR1 = 4,7 kΩR2 = 10 kΩC = 33 µFt = 750 ms
vC = V
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
14.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​1,5 ABRL​4 ΩIL​

وُصل حِمل RL = 4 Ω بين a–b. استخدم مكافئ ثيفنن لإيجاد القدرة PL المسلَّمة إلى الحِمل.

V1 = 5 VIs = 1,5 AR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩRL = 4 Ω
PL = W
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
vin​L = 2 mHC = 10 µFR = 5 Ωvout​

في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 5 Ω، مع L = 2 mH وC = 10 µF. أوجد التردد المركزي (الرنيني) f0 بالهرتز.

R = 5 ΩL = 2 mHC = 10 µF
f0 = Hz
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
|H| (dB)0,10,1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 66/(s(s + 3)(s + 8)). أوجد تردد تقاطع الطور ω180، حيث ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 66/(s(s + 3)(s + 8))
ω180 = rad/s

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: C (−2 − j8)

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

أثر w

|z/w| = |z|/0,5, arg(z/w) = arg z − 90°

النقطة

z/w = −2 − j8 → C

الإجابة

C (−2 − j8)
2.الأعداد المركبة

الإجابة: Re(z⁴) = −7

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

القوى خطوة خطوة

z² = (1 + j2)(1 + j2) = −3 + j4
z³ = (−3 + j4)(1 + j2) = −11 − j2
z⁴ = (−11 − j2)(1 + j2) = −7 − j24

تحقق بدي موافر

z = 2,236∠63,43° → z⁴ = 25∠−106,3°
Re(z⁴) = −7

الإجابة

Re(z⁴) = −7
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 70,36 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,1) = 70,36 µF

الإجابة

C = 70,36 µF
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,6453 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (152,9)²) = 155 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 100/155 = 0,6453 A

الإجابة

I = 0,6453 A
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 191,3 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 33000/(230·0,75) = 191,3 A

الإجابة

I = 191,3 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Inew = 155,3 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar
QC = Q1 − Q2 = 23,76 kvar

تيار الخط الجديد

Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(230·0,98) = 155,3 A

الإجابة

Inew = 155,3 A
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: f1 = 819,8 Hz

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

حدّ الجذر التربيعي

√(1 + 1/(4·2,5²)) = 1,02

تردد نصف القدرة الأدنى

f1 = 1000·(1,02 − 0,2) = 819,8 Hz = 819,8 Hz

الإجابة

f1 = 819,8 Hz

التردد الأعلى هو f₂ = 1,22 kHz؛ تحقق: f₂ − f₁ = 400 Hz = f₀/Q.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R = 69,12 Ω

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

عرض النطاق على التوالي

BW = R/(2πL)

المقاومة

R = 2π·0,00022·50000 = 69,12 Ω

الإجابة

R = 69,12 Ω
9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: IL = 52,7 A

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

القدرة الكهربائية الداخلة

Pin = Pout/η = 30/0,9 = 33,33 kW

تيار الخط

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·415·0,88) = 52,7 A

الإجابة

IL = 52,7 A
10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Cph = 292,5 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

QC = Q1 − Q2 = 43,76 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14585/(314,2·398,4²) = 292,5 µF

الإجابة

Cph = 292,5 µF
11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 1,386 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 24/10 = 2,4 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −1·ln(0,25) = 1,386 ms

الإجابة

t = 1,386 ms
12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 0,4205 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

جهد المكثّف الابتدائي

في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.

vC(0) = 6·10/(4,7 + 10) = 4,082 V

الثابت الزمني بعد فتح المفتاح

τ = R2·C = 10·33 = 330 ms

التفريغ

vC(t) = 4,082·e−750/330 = 0,4205 V

الإجابة

vC = 0,4205 V
13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = 1,8 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩقصرR2​2 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 8·2/(8+2) = 1,6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,6 + 3 = 4,6 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·2/(8+2) = 1,8 V
14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: PL = 5,5 W

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩقصرR2​20 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,609 + 25 = 27,61 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​1,5 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,348 + (−1,5)·2,609 = 0,4348 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 0,4348 + (−1,5)·25 = −37,07 V
Rth​ = 27,61 Ω−+Vth​37,07 VRL​4 ΩIL​

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

IL = Vth/(Rth + RL) = −37,07/(27,61 + 4) = −1,173 A
PL = IL²·RL = −1,173²·4 = 5,5 W
15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: f0 = 1125 Hz

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,002·1 × 10⁻⁵) = 7071 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1125 Hz

الإجابة

f0 = 1125 Hz
16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: ω180 = 4,899 rad/s

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تقاطع الطور

(ω/3)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(3·8) = 4,899 rad/s

الإجابة

ω180 = 4,899 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2