تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = 12∠160° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء الحقيقي a.

r = 12θ = 160°

a =

2.الأعداد المركبةصعبة

أحد جذور z³ + 3z² − 8z − 160 = 0 هو z₁ = −4 + j4. المعاملات حقيقية. جد الجذر الحقيقي r.

z₁ = −4 + j4

r =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع L = 20 mH يجب أن ترنّ عند 100 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f₀ = 100 HzL = 20 mH

C = µF

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِمل معاوقته Z = 8 + j6 Ω موصول بمصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). أوجد القدرة الظاهرية S.

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω

S = VA

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 5 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 230 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 100 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.

P = 5 kWpf₁ = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 100 µF

cos φ =

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

في دائرة LC مثالية فيها L = 47 mH وC = 10 pF، يكون المكثف مشحونًا بالكامل عند t = 0. كم يمضي من الزمن حتى تصبح كل الطاقة في الملف؟ أعط t بوحدة µs.

L = 47 mHC = 10 pF

t = µs

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

تستخدم دائرة رنين على التوالي ملفًا حثّيًا 22 µH. أي مقاومة توالٍ كلية R تعطي عرض نطاق 50 kHz؟

L = 22 µHBW = 50 kHz

R = Ω

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 15 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 88% ومعامل قدرته 0,86 متأخرًا. جهد خط المصدر 415 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 15 kWη = 88%cos φ = 0,86V_L = 415 V

I_L = A

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 250 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 30 ms.

V_s = 24 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 30 ms

v_C = V

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح الموصول على طرفي R₂ مغلق منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد تيار الملف i عند t = 10 ms.

V_s = 9 VR₁ = 22 ΩR₂ = 22 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 5 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 25 Ω بين a–b. استخدم مكافئ ثيفنن لإيجاد القدرة P_L المسلَّمة إلى الحِمل.

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 25 Ω

P_L = W

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 1 Ω، مع L = 5 mH وC = 2,2 µF. أوجد معامل الجودة Q.

R = 1 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

Q =

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 314/(s(s + 4)(s + 10)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.

L(s) = 314/(s(s + 4)(s + 10))

GM = dB

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: a = −11,28

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 12·cos(160°) = −11,28

b = 12·sin(160°) = 4,104

الصيغة الديكارتية

z = −11,28 + j4,104

a = −11,28

الإجابة

a = −11,28

2.الأعداد المركبة

الإجابة: r = 5

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

زوج مترافق

z₂ = −4 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 4²) = z² + 8z + 32

حلّل العامل التربيعي

z³ + 3z² − 8z − 160 = (z² + 8z + 32)(z − 5)

الجذر الحقيقي

r = 5

الإجابة

r = 5

تحقق بمجموع الجذور: z₁ + z₂ + r = −8 + 5 = −3 = −(3).

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 126,7 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,02) = 126,7 µF

الإجابة

C = 126,7 µF

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 20,45 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (169,5)²) = 169,8 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 24/169,8 = 0,1414 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 0,1414·144,7 = 20,45 V

الإجابة

V_C = 20,45 V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: S = 5760 VA

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

التيار

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

القدرة الظاهرية

S = V·I = 240·24 = 5760 VA

الإجابة

S = 5760 VA

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,9004

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 5·tan(arccos 0,75) = 4,41 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·100·10⁻⁶ = 1994 var = 1,994 kvar

Q₂ = 4,41 − 1,994 = 2,415 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(5² + 2,415²) = 5,553 kVA

معامل القدرة الجديد

cos φ = P/S₂ = 5/5,553 = 0,9004

الإجابة

cos φ = 0,9004

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: t = 1,077 µs

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f₀ = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV₀² ثابتة، فيكون التيار الأقصى I_max = V₀√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f₀؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

الزمن الدوري

T = 2π√(0,047·1 × 10⁻¹¹) = 4,308 µs

ربع الدورة

t = T/4 = 1,077 µs

الإجابة

t = 1,077 µs

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R = 6,912 Ω

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

عرض النطاق على التوالي

BW = R/(2πL)

المقاومة

R = 2π·2,2 × 10⁻⁵·50000 = 6,912 Ω

الإجابة

R = 6,912 Ω

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 27,57 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 15/0,88 = 17,05 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 17045/(√3·415·0,86) = 27,57 A

الإجابة

I_L = 27,57 A

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 169,7 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 169,7 kvar

الإجابة

Q_C = 169,7 kvar

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 10,66 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد R_th؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·4,7/(1 + 4,7) = 0,8246 kΩ

v_C(∞) = 24·4,7/(1 + 4,7) = 19,79 V

الثابت الزمني

τ = R_th·C = 0,8246·47 = 38,75 ms

منحنى الشحن

v_C(t) = 19,79·(1 − e^−30/38,75) = 10,66 V

الإجابة

v_C = 10,66 V

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,2322 A

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 يتجاوز المفتاح المغلق R₂؛ وبعدها يكون R₁ و R₂ كلاهما في الحلقة.

i(0) = 9/22 = 0,4091 A

i(∞) = 9/(22 + 22) = 0,2045 A

τ = L/R = 220/44 = 5 ms

i(t) = 0,2045 + (0,4091 − 0,2045)·e^−t/τ

التيار في اللحظة المعطاة

i(10) = 0,2045 + (0,2045)·e^−10/5 = 0,2322 A

الإجابة

i = 0,2322 A

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 1,579 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,667 + 6 = 7,667 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·10/(2+10) = 20 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 20/(7,667 + 5) = 1,579 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: P_L = 25 W

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 10 = 14,29 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,571 + (−3)·4,286 = −9,286 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −9,286 + (−3)·10 = −39,29 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −39,29/(14,29 + 25) = −1 A

P_L = I_L²·R_L = −1²·25 = 25 W

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: Q = 47,67

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·2,2 × 10⁻⁶) = 9535 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 1517 Hz

معامل الجودة

BW = R/L = 1/0,005 = 200 rad/s = 31,83 Hz

Q = ω₀/BW = 9535/200 = 47,67

الإجابة

Q = 47,67

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: GM = 5,025 dB

تقاطع الطور

(ω/4)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·10) = 6,325 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 100)) = K/(4·10·(4 + 10)) = K/560

هامش الكسب

GM = 20·log₁₀(560/314) = 5,025 dB

الإجابة

GM = 5,025 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

المركّبات

الصيغة الديكارتية

الإجابة

زوج مترافق

حلّل العامل التربيعي

الجذر الحقيقي

الإجابة

شرط الرنين

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

التيار

الجهد على المكثّف

الإجابة

التيار

القدرة الظاهرية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الظاهرية الجديدة

معامل القدرة الجديد

الإجابة

الزمن الدوري

ربع الدورة

الإجابة

عرض النطاق على التوالي

المقاومة

الإجابة

القدرة الكهربائية الداخلة

تيار الخط

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

الإجابة

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

الثابت الزمني

منحنى الشحن

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

التيار في اللحظة المعطاة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

تردد الرنين

معامل الجودة

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

هامش الكسب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة