تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = −5 + j2 بالصيغة الأسية r·e^jθ. أعطِ θ بالراديان، بين −π و π.

z = −5 + j2

θ = rad

2.الأعداد المركبةصعبة

للمعادلة z² − 4z + 13 = 0 جذران مركبان. جد طويلتهما |z|.

p = −4q = 13

|z| =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 4,7 µF يجب أن ترنّ عند 100 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 100 HzC = 4,7 µF

L = mH

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 24 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

I = A

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 230 V: حِمل 9 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر وحِمل 23 kW بمعامل قدرة 0,8 متقدّم. أوجد التيار الكلي I المسحوب من المصدر.

V = 230 VP₁ = 9 kW, pf₁ = 0,85 متأخرP₂ = 23 kW, pf₂ = 0,8 متقدّم

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 25 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,92. أوجد القدرة غير الفعّالة Q_C التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 25 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

في دائرة LC مثالية فيها L = 47 µH وC = 2,2 µF، يكون المكثف مشحونًا بالكامل عند t = 0. كم يمضي من الزمن حتى تصبح كل الطاقة في الملف؟ أعط t بوحدة µs.

L = 47 µHC = 2,2 µF

t = µs

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

ترددا نصف القدرة لمنحنى رنين هما 5 kHz و7,5 kHz. أوجد تردد الرنين بوصفه وسطهما الهندسي، ثم معامل الجودة Q.

f₁ = 5 kHzf₂ = 7,5 kHz

Q =

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 50 A من مصدر جهد خطه 400 V. معامل القدرة 0,85 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 400 VI_L = 50 Acos φ = 0,85

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 8 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 1000 ms.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 8 Vt = 1000 ms

v_C = V

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 25 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

لـ مرشح RC لتمرير الترددات العالية الموضح R = 3,3 kΩ, C = 22 nF. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 22 kHz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد v_out بالنسبة إلى v_in، بالدرجات.

R = 3,3 kΩC = 22 nFf = 22 kHz

φ = °

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 2 dB.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3))GM = 2 dB

K =

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = 2,761 rad

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

الطويلة

r = √(25 + 4) = 5,385

السعة بالراديان

θ = 158,2° = 158,2·π/180 = 2,761 rad

الصيغة الأسية

z = 5,385·e^j2,761

الإجابة

θ = 2,761 rad

2.الأعداد المركبة

الإجابة: |z| = 3,606

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

المميِّز

p² − 4q = 16 − 52 = −36 < 0

قانون المعادلة التربيعية

z = (4 ± j√36)/2 = 2 + j3, 2 − j3

الإجابة

|z| = √(2² + 3²) = √13 = 3,606

الإجابة

|z| = 3,606

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 538,9 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·4,7·10⁻⁶) = 538,9 mH

الإجابة

L = 538,9 mH

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,2848 A

المفاعلة

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 38,77 − j48,72 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 30 + 38,77 − j48,72 = 68,77 − j48,72 Ω

|Z| = √(68,77² + 48,72²) = 84,28 Ω

التيار

I = V/|Z| = 24/84,28 = 0,2848 A

الإجابة

I = 0,2848 A

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 148,1 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 9·tan(arccos 0,85) = 5,578 kvar

Q₂ = −23·tan(arccos 0,8) = −17,25 kvar

المجاميع

P = 9 + 23 = 32 kW

Q = 5,578 + (−17,25) = −11,67 kvar

S = √(32² + (−11,67)²) = 34,06 kVA

التيار الكلي

I = S/V = 34062/230 = 148,1 A

الإجابة

I = 148,1 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q_C = 8,1 kvar

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(36,87°) = 18,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(23,07°) = 10,65 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8,1 kvar

الإجابة

Q_C = 8,1 kvar

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: t = 15,97 µs

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f₀ = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV₀² ثابتة، فيكون التيار الأقصى I_max = V₀√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f₀؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

الزمن الدوري

T = 2π√(4,7 × 10⁻⁵·2,2 × 10⁻⁶) = 63,89 µs

ربع الدورة

t = T/4 = 15,97 µs

الإجابة

t = 15,97 µs

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 2,449

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

تردد الرنين

f₀ = √(5000·7500) = 6124 Hz

عرض النطاق

BW = 7500 − 5000 = 2500 Hz

معامل الجودة

Q = 6124/2500 = 2,449

الإجابة

Q = 2,449

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 29,44 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·400·50 = 34,64 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 34,64·0,85 = 29,44 kW

الإجابة

P = 29,44 kW

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 38,04 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 38,04 kvar

الإجابة

Q_C = 38,04 kvar

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,3638 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0,4091 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4091·(1 − e^−1/0,4545) = 0,3638 A

الإجابة

i = 0,3638 A

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 9,747 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(1000) = 10 + (−2)·e^−1000/484 = 9,747 V

الإجابة

v_C = 9,747 V

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 0,45 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,429 + 8 = 11,43 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·8/(6+8) = 5,143 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 5,143/11,43 = 0,45 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 1,657 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 25·6/(25+6) = 4,839 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,839 + 4 = 8,839 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,806 + 1·4,839 = 10,65 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,65 + 1·4 = 14,65 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 14,65/8,839 = 1,657 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: φ = 5,691 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الركن

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·2,2 × 10⁻⁸) = 13774 rad/s

f_c = 2192 Hz → f/f_c = 22000/2192 = 10,04

الطور

φ = 90° − atan(10,04) = 5,691°

الإجابة

φ = 5,691°

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: K = 9,532

تقاطع الطور

(ω/1)·(ω/3) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·3) = 1,732 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 9)) = K/(1·3·(1 + 3)) = K/12

الكسب المطلوب

12/K = 10^2/20 = 1,259

K = 12/1,259 = 9,532

الإجابة

K = 9,532

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

الطويلة

السعة بالراديان

الصيغة الأسية

الإجابة

المميِّز

قانون المعادلة التربيعية

الإجابة

الإجابة

شرط الرنين

الإجابة

المفاعلة

توصيلة التوازي

المعاوقة الكلية

التيار

الإجابة

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

المجاميع

التيار الكلي

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

الإجابة

الزمن الدوري

ربع الدورة

الإجابة

تردد الرنين

عرض النطاق

معامل الجودة

الإجابة

القدرة الظاهرية

القدرة الفعلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

التيار في اللحظة المعطاة

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

الجهد في اللحظة المعطاة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

تردد الركن

الطور

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

الكسب المطلوب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة