تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

جد السعة θ للعدد z = −6 + j6 بالدرجات، كقيمة رئيسية بين −180° و180°.

z = −6 + j6

θ = °

2.الأعداد المركبةصعبة

حلّ z² + 6z + 10 = 0. الجذران a ± jb؛ جد b > 0.

p = 6q = 10

b =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد القدرة الفعلية P المسحوبة من المصدر.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF

P = W

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 5 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال V_L على الملف.

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF

V_L = V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 12 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 400 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 12 kWpf = 0,75V = 400 V

Q = kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 25 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 240 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,9. أوجد تيار الخط الجديد I_new.

P = 25 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

يتذبذب مكثف 470 nF مشحون إلى 15 V مع ملف حثّي مثالي 22 mH. أوجد الطاقة W_L المختزنة في الملف لحظة يكون جهد المكثف 9 V، بوحدة µJ.

C = 470 nFV₀ = 15 Vv_C = 9 V

W_L = µJ

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

ترددا نصف القدرة لمنحنى رنين هما 100 kHz و250 kHz. أوجد تردد الرنين بوصفه وسطهما الهندسي، ثم معامل الجودة Q.

f₁ = 100 kHzf₂ = 250 kHz

Q =

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 25 A من مصدر جهد خطه 480 V. معامل القدرة 0,88 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 480 VI_L = 25 Acos φ = 0,88

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 300 kW عند معامل قدرة 0,78 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 750 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 220 µFt = 750 ms

v_C = V

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 18 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 80 ms.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 Vt = 80 ms

v_C = V

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 5 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد جهد ثيفنن V_th المرئي من الطرفين a–b.

V₁ = 24 VI_s = 2,5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

أوجد الطور ∠G(jω) لـ G(s) = 19(s + 15)/(s(s + 11)) عند ω = 10 rad/s، بالدرجات.

G(s) = 19(s + 15)/(s(s + 11))ω = 10 rad/s

∠G(jω) = °

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 1700/(s(s + 20)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.

L(s) = 1700/(s(s + 20))

PM = °

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = 135 °

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

الربع

a = −6, b = 6 → II

الزاوية المرجعية

α = atan(6/6) = 45°

السعة

θ = 180° − α = 135°

الإجابة

θ = 135°

بالصيغة القطبية z = 8,485∠135°.

2.الأعداد المركبة

الإجابة: b = 1

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

المميِّز

p² − 4q = 36 − 40 = −4 < 0

قانون المعادلة التربيعية

z = (−6 ± j√4)/2 = −3 + j, −3 − j

الإجابة

b = 1

الإجابة

b = 1

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: P = 11,22 W

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 12,57 Ω, X_C = 33,86 Ω

المعاوقة

|Z| = √(40² + (−21,3)²) = 45,32 Ω

القدرة الفعلية

الملفات والمكثّفات تخزّن الطاقة وتعيدها فقط؛ والمقاومة تمتص القدرة الفعلية كلها.

I = 24/45,32 = 0,5296 A

P = I²·R = 0,5296²·40 = 11,22 W

الإجابة

P = 11,22 W

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_L = 149,1 V

الرنين

عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,1·10⁻⁶) = 22361 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0,3333 A

الجهد على الملف

X_L = ω₀L = 22361·0,02 = 447,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,3333·447,2 = 149,1 V

الإجابة

V_L = 149,1 V

هذا Q = 29,81 مرة جهد المصدر.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 10,58 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 12·0,8819 = 10,58 kvar

الإجابة

Q = 10,58 kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I_new = 115,7 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(49,46°) = 29,23 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25,84°) = 12,11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17,12 kvar

تيار الخط الجديد

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(240·0,9) = 115,7 A

الإجابة

I_new = 115,7 A

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: W_L = 33,84 µJ

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f₀ = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV₀² ثابتة، فيكون التيار الأقصى I_max = V₀√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f₀؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

الطاقة الكلية

½·4,7 × 10⁻⁷·15² = 5,288 × 10⁻⁵ J

الطاقة المتبقية في المكثف

½·4,7 × 10⁻⁷·9² = 1,903 × 10⁻⁵ J

الطاقة في الملف

W_L = 3,384 × 10⁻⁵ J = 33,84 µJ

الإجابة

W_L = 33,84 µJ

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 1,054

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

تردد الرنين

f₀ = √(100000·250000) = 158114 Hz

عرض النطاق

BW = 250000 − 100000 = 150000 Hz

معامل الجودة

Q = 158114/150000 = 1,054

الإجابة

Q = 1,054

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 18,29 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·480·25 = 20,78 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 20,78·0,88 = 18,29 kW

الإجابة

P = 18,29 kW

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 142,1 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,78) = 300·0,8023 = 240,7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 142,1 kvar

الإجابة

Q_C = 142,1 kvar

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 5,56 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد R_th؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·3,3/(10 + 3,3) = 2,481 kΩ

v_C(∞) = 30·3,3/(10 + 3,3) = 7,444 V

الثابت الزمني

τ = R_th·C = 2,481·220 = 545,9 ms

منحنى الشحن

v_C(t) = 7,444·(1 − e^−750/545,9) = 5,56 V

الإجابة

v_C = 5,56 V

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 19,62 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(80) = 20 + (−2)·e^−80/48,4 = 19,62 V

الإجابة

v_C = 19,62 V

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 1,108 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 2 = 8 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·15/(10+15) = 14,4 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 14,4/(8 + 5) = 1,108 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: V_th = 49,75 V

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·10/(30+10) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 10 = 17,5 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 2,5·7,5 = 24,75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 24,75 + 2,5·10 = 49,75 V

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: ∠G(jω) = −98,58 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

اجمع الزوايا

∠G = atan(10/15) − 90° − atan(10/11) = 33,69° − 90° − 42,27°

النتيجة

∠G(j10) = −98,58°

الإجابة

∠G(jω) = −98,58°

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: PM = 27,22 °

تقاطع الكسب

ω⁴ + 400ω² − 2,89 × 10⁶ = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·2,89 × 10⁶))/2 = 1512

ω_c = 38,88 rad/s

هامش الطور

∠L(jω_c) = −90° − atan(38,88/20) = −152,8°

PM = 180° + ∠L = 27,22°

الإجابة

PM = 27,22°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

الربع

الزاوية المرجعية

السعة

الإجابة

المميِّز

قانون المعادلة التربيعية

الإجابة

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

القدرة الفعلية

الإجابة

الرنين

الجهد على الملف

الإجابة

الزاوية

القدرة غير الفعّالة

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

تيار الخط الجديد

الإجابة

الطاقة الكلية

الطاقة المتبقية في المكثف

الطاقة في الملف

الإجابة

تردد الرنين

عرض النطاق

معامل الجودة

الإجابة

القدرة الظاهرية

القدرة الفعلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

الإجابة

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

الثابت الزمني

منحنى الشحن

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

الجهد في اللحظة المعطاة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

اجمع الزوايا

النتيجة

الإجابة

تقاطع الكسب

هامش الطور

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة