تمويل الشركات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

تحليل نقطة التعادل

هامش المساهمة: CM = p − v
كمية التعادل: Q_BE = FC/(p − v)
الربح المستهدف: Q = (FC + profit)/(p − v)
الربح: π = (p − v)·Q − FC
هامش الأمان: (Q − Q_BE)/Q

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدل اسمي 3% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 9 سنوات.

PV = €2 0003% / 4n = 9

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €300 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 25 سنوات بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 15؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €300 0005,4% / 12N = 300k = 180

B = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €24 000, €32 000, €16 000, €32 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 32 000CF₃ = 16 000CF₄ = 32 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €23 500, €24 500, €20 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 500CF₂ = 24 500CF₃ = 20 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 7%YTM = 5%n = 3

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 2% ويستحق بعد 6 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 2%n = 6YTM = 4%

D = سنوات

7.CAPM و WACCمتوسطة

سهم معامل بيتا له 1,4 وعائده المطلوب 9,7%. المعدّل الخالي من المخاطر 2%. ما عائد السوق المتوقّع r_m الذي يقتضيه CAPM؟

β = 1,4r_e = 9,7%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 1 000 000 من الأسهم بسعر €30,50 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 3% ومعدل الضريبة 25%. معامل بيتا للسهم 1,1، والمعدل الخالي من المخاطر 3,5%، وعائد السوق 10%. أوجد WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.تحليل نقطة التعادلمتوسطة

يمكن صنع منتج بطريقتين. للطريقة A تكاليف ثابتة €15 000 سنويًا وتكلفة متغيرة €25 للوحدة. وللطريقة B، الأكثر أتمتة، تكاليف ثابتة €23 000 سنويًا وتكلفة متغيرة €21 للوحدة. عند أيّ حجم سنوي Q تتساوى تكلفة الطريقتين؟

F_A = €15 000v_A = €25F_B = €23 000v_B = €21

Q = وحدة

10.تحليل نقطة التعادلصعبة

تبيع شركة منتجين. يُباع المنتج A بسعر €13 بتكلفة متغيرة €8؛ ويُباع المنتج B بسعر €30 بتكلفة متغيرة €15. يُباعان بمزيج ثابت قدره 2 وحدة من A لكل 3 من B. التكاليف الثابتة €44 000 شهريًا. أوجد العدد الكلي للوحدات Q (A و B معًا) اللازم لبلوغ نقطة التعادل.

p_A = €13, v_A = €8p_B = €30, v_B = €15A : B = 2 : 3F = €44 000

Q = وحدة

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2617 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·9 = 36

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·(1 + 0,0075)³⁶ = 2 000·1,309 = €2 617,29

الإجابة

FV = €2 617,29

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 168876 €

الدفعة الشهرية

i = 0,0045, N = 300

A = 300 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €1 824,39

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 300 − 180 = 120

B = 1824·(1 − (1 + 0,0045)⁻¹²⁰)/0,0045 = €168 875,81

الإجابة

B = €168 875,81

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 3664 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 24 000/1,12 = 21 428,57

CF₂/(1 + 0,12)² = 32 000/1,254 = 25 510,20

CF₃/(1 + 0,12)³ = 16 000/1,405 = 11 388,48

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 32 000/1,574 = 20 336,58

اجمعها

NPV = €3 663,84

الإجابة

NPV = €3 663,84

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 17,98 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 2 439,39

NPV(20%) = −1 539,35

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·2 439,39/(2 439,39 − (−1 539,35)) = 18,07%

بالضبط: NPV(17,98%) = 0 → IRR = 17,98%

الإجابة

IRR = 17,98%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1055 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €35,00, i = 0,025, N = 6

القيمة الحالية للكوبونات

€35,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €192,78

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8623 = €862,30

السعر

P = €1 055,08

الإجابة

P = €1 055,08

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 5,694 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 20/1,04 = 19,23, t·PV = 19,23

t = 2: 20/1,082 = 18,49, t·PV = 36,98

t = 3: 20/1,125 = 17,78, t·PV = 53,34

t = 4: 20/1,17 = 17,10, t·PV = 68,38

t = 5: 20/1,217 = 16,44, t·PV = 82,19

t = 6: 1020/1,265 = 806,12, t·PV = 4 836,72

المدة

P = 895,16

D = 5 096,85/895,16 = 5,694

الإجابة

D = 5,694 سنوات

7.CAPM و WACC

الإجابة: r_m = 7,5 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

r_m − r_f = (9,7% − 2%)/1,4 = 5,5%

عائد السوق

r_m = 2% + 5,5% = 7,5%

الإجابة

r_m = 7,5%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,508 %

القيم السوقية

E = 1 000 000·€30,50 = €30 500 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·6,5% = 10,65%

الأوزان

V = €35 300 000, E/V = 0,864, D/V = 0,136

WACC

WACC = 0,864·10,65% + 0,136·3%·(1 − 0,25) = 9,508%

الإجابة

WACC = 9,508%

9.تحليل نقطة التعادل

الإجابة: Q = 2000 وحدة

التكلفة–الحجم–الربح: كل وحدة مباعة تحقق هامش مساهمة: السعر ناقص التكلفة المتغيرة للوحدة. الربح = Q·(p − v) − F، حيث F التكلفة الثابتة. عند نقطة التعادل يكون الربح صفرًا، لذا Q = F/(p − v).

تساوي التكاليف الكلية

15 000 + 25Q = 23 000 + 21Q

حلّ لإيجاد Q

Q = (23 000 − 15 000)/(25 − 21) = 2 000

الإجابة

Q = 2 000 وحدة

دون هذا الحجم تكون الطريقة A أرخص؛ وفوقه تكون الطريقة المؤتمتة B أرخص.

10.تحليل نقطة التعادل

الإجابة: Q = 4000 وحدة

التعادل مع مزيج مبيعات: عندما تُباع المنتجات بنسبة ثابتة، استخدم هامش المساهمة المتوسط المرجَّح: رجّح p − v لكل منتج بحصته من الوحدات. وحدات التعادل = F/(هامش المساهمة المرجَّح)، ثم تُقسَّم مجددًا بنسبة المزيج.

هوامش المساهمة

cm_A = €5, cm_B = €15

هامش المساهمة المرجَّح

(2·5 + 3·15)/5 = €11,00

وحدات التعادل

Q = 44 000/11 = 4 000

A: 1 600, B: 2 400

الإجابة

Q = 4 000 وحدة

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance