الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 120 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 7,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 120 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 18 m/s من حافة سطح يرتفع 40 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 35° بسرعة 5,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 5,5 m/sθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 38 m/s ويجب أن تهبط على بعد 60 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 38 m/sR = 60 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 900 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 9 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 45 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 900 kgv = 9 m/sr = 45 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 1,1 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 1,1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 90 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,7. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 90 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2 kg من السكون على ارتفاع 1 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 4 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 2500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 2 kgh = 1 mL = 4 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 12 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 40 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 9 kg إلى الأمام بسرعة 56 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 3 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 12 kgu = 40 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 800 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1000 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 25 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 800 kgm₂ = 1000 kgd = 25 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 16,5 kg·m² تدور بسرعة 2400 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 200 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 16,5 kg·m²n = 2400 rpmT_b = 200 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 4,5 kg وطوله 0,6 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 30 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 120 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,49 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 4,5 kgL = 0,6 mm = 30 gv = 120 m/sd = 0,49 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 16 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 45 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 1,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 45η = 98%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (18 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 3000 rpm ويدير الترس B (20 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 675 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 3000 rpmA = 18B = 20C = 15n_out = 675 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,3 m زمنه الدوري 2,14 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,3 mT = 2,14 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,4 kg على نابض k = 140 N/m تُسحب 5 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 0,4 kgk = 140 N/mA = 5 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 8 kg يحملها نابض جساءته 10 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 50 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 8 kgk = 10 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 12 kN/m والسفلي k₂ = 20 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 4,444 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/7,5 = 4,444 s

الإجابة

t = 4,444 s

2.علم الحركة

الإجابة: t = 5,229 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−40 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 40 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,229 s

الإجابة

t = 5,229 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,179 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

الإجابة

a = 5,179 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 2,214 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 35° + 0,15·cos 35°) = 6,832 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·6,832) = 2,214 m

الإجابة

d = 2,214 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 12,03 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·60/38² = 0,4076

الزاوية

2θ = 24,06° → θ = 12,03°

الإجابة

θ = 12,03°

الحل الآخر 90° − θ = 77,97°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 112 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19,8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19,8 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 45 + 19,8·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,8 + √(392 + 882,9))/9,81 = 5,658 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 19,8·5,658 = 112 m

الإجابة

x = 112 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 7209 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 900·9,81 − 900·9²/45 = 8829 − 1620 = 7209 N

الإجابة

N = 7209 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 3,285 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,1) = 3,285 m/s

الإجابة

v_min = 3,285 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 45,51 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 90/3,6 = 25 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0,7·9,81) = 45,51 m

الإجابة

d = 45,51 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 9,704 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 19,62·(1 − 0,1·4) = 11,77 J

أقصى انضغاط

½kx² = 11,77 → x = √(2·11,77/2500) = 0,09704 m = 9,704 cm

الإجابة

x = 9,704 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 12·40 = 480 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

480 = 9·56 + 3·v′₂

v′₂ = (480 − 504)/3 = −8 m/s

الإجابة

v′₂ = −8 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 35,24 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·25) = 15,66 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·15,66/800 = 35,24 m/s

الإجابة

v₁ = 35,24 m/s

(126,8 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 20,73 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2400/60 = 251,3 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 200/16,5 = 12,12 rad/s²

t = ω/α = 251,3/12,12 = 20,73 s

الإجابة

t = 20,73 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 3,224 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 4,5·0,6²/3 + 0,03·0,49² = 0,5472 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,03·120·0,49/0,5472 = 3,224 rad/s

الإجابة

ω = 3,224 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 27,23 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/151,8 = 9,879 N·m

عزم الخرج

T₂ = 9,879·45/16·0,98 = 27,23 N·m

الإجابة

T₂ = 27,23 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 60

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 3000·18/20 = 2700 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 15·2700/675 = 60

الإجابة

N_D = 60

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 11,21 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/2,14² = 11,21 m/s²

الإجابة

g = 11,21 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 0,175 J

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(140/0,4) = 18,71 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·140·0,05² = 0,175 J

الإجابة

E = 0,175 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,08839

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·8) = 565,7 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 50/565,7 = 0,08839

الإجابة

ζ = 0,08839

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 1,949 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/20 → k_eq = 12·20/(12 + 20) = 7,5 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(7500/50) = 12,25 rad/s

f_n = 12,25/(2π) = 1,949 Hz

الإجابة

f_n = 1,949 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics