الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 60 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 60 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 13 m/s من حافة سطح يرتفع 25 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 13 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 9 m/s ويتوقّف بعد 14 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 9 m/sd = 14 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 55 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 7 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 2 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,25 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.

m₁ = 2 kgm₂ = 7 kgF = 55 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 70° فوق الأفق وتهبط على بعد 75 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 70°R = 75 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 15° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,2 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 35° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 1,2 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 0,8 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 18 m على منحدر يميل بزاوية 15° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,1. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 15°μ = 0,1d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 1 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 3,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1900 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 15 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1900 kgd = 15 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 11,5 kg وطوله 1 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 11,5 kgL = 1 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 4,5 m على امتداد المنحدر.

θ = 35°s = 4,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 30 سنًّا وموديول 5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 11 kWn = 1450 rpmN₁ = 30m = 5 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 150 mm وبكرة قطرها 315 mm والمسافة بين مركزيهما 1000 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 150 mmd₂ = 315 mmC = 1000 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,5 m زمنه الدوري 2,3 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,5 mT = 2,3 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 420 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 13 cm. أوجد الطاقة U المخزّنة في النابض عندما تكون الكتلة على بعد 5 cm من موضع الاتزان.

k = 420 N/mA = 13 cmx = 5 cm

U = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg يحملها نابض جساءته 4 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 40 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 12 kgk = 4 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 15 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 30,86 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4,5) = 30,86 m

الإجابة

s = 30,86 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 33,61 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 25 + 8,614 = 33,61 m

الإجابة

h_max = 33,61 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,2949

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·14) = 2,893 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,893/9,81 = 0,2949

الإجابة

μ = 0,2949

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 12,22 N

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 22,07)/9 = 3,659 m/s²

الجسم الخلفي وحده

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(3,659 + 2,453) = 12,22 N

الإجابة

T = 12,22 N

مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 33,83 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·75/sin 140°) = 33,83 m/s

الإجابة

v₀ = 33,83 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 90,78 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24,15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6,47 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 45 + 6,47·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,47 + √(41,87 + 882,9))/9,81 = 3,759 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 24,15·3,759 = 90,78 m

الإجابة

x = 90,78 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 2,174 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,2·sin 35° = 0,6883 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,6883·9,81·tan 35°) = 2,174 m/s

الإجابة

v = 2,174 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 2,801 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

الإجابة

v_min = 2,801 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 85,28 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,9659 = 47,38 N

F = μN = 0,1·47,38 = 4,738 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 4,738·18 = 85,28 J

الإجابة

W_f = 85,28 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 29,38 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(1 − 0,15·3) = 21,58 J

أقصى انضغاط

½kx² = 21,58 → x = √(2·21,58/500) = 0,2938 m = 29,38 cm

الإجابة

x = 29,38 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 0,3529 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (5 − 3,5)/(5 + 3,5)·2 = 0,3529 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3,5)·2 = 2,353 m/s

الإجابة

v′₁ = 0,3529 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 44,5 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·15) = 15,34 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·15,34/1000 = 44,5 m/s

الإجابة

v₁ = 44,5 m/s

(160,2 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 28,2 N

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1) = 14,71 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 11,5·(9,81 − 7,357) = 28,2 N

الإجابة

R = 28,2 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 5,032 m/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 4,5·sin 35° = 2,581 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·2,581/2) = 5,032 m/s

الإجابة

v = 5,032 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 965,9 N

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 11000/151,8 = 72,44 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 5·30 = 150 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·72,44/0,15 = 965,9 N

الإجابة

F_t = 965,9 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 170,5 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,0825) = 4,732°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·4,732 = 170,5°

الإجابة

θ = 170,5°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 11,19 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/2,3² = 11,19 m/s²

الإجابة

g = 11,19 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: U = 0,525 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·420·0,13² = 3,549 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·420·0,05² = 0,525 J

الإجابة

U = 0,525 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,09129

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·12) = 438,2 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 40/438,2 = 0,09129

الإجابة

ζ = 0,09129

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 5,657 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/15 → k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(12632/10) = 35,54 rad/s

f_n = 35,54/(2π) = 5,657 Hz

الإجابة

f_n = 5,657 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics