الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 300 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1600 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 4,9 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 4,9 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 17 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 20° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 17 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 5,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 1,5 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 65° فوق الأفق وتهبط على بعد 125 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 65°R = 125 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 35 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 105 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 105 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1 kg مربوطة بخيط طوله 1,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 7,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1 kgr = 1,5 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 1000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,05 kg ويُضغط النابض بمقدار 10 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,05 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 5 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 25° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 70 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 2 m إلى أعلى المنحدر.

m = 5 kgF = 70 Nθ = 25°μ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4,5 kg يتحرك بسرعة 3 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 2000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1200 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 9,5 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1200 kgd = 9,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 13,5 kg·m² تدور بسرعة 1500 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 155 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 13,5 kg·m²n = 1500 rpmT_b = 155 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 20° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². نصف قطره 0,15 m. أوجد سرعته الزاوية ω بعد أن يتدحرج 3,5 m على امتداد المنحدر.

θ = 20°s = 3,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 40 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 45 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 5,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 40N₂ = 45η = 96%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (16 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (24 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 16B = 60C = 18D = 24

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,2 kg على نابض k = 280 N/m تُسحب 4 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,7 s (مع الإشارة).

m = 3,2 kgk = 280 N/mA = 4 cmt = 0,7 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 330 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 15 cm. أوجد طاقتها الحركية K عندما تكون على بعد 13 cm من موضع الاتزان.

k = 330 N/mA = 15 cmx = 13 cm

K = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 4,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₁ = 4,7 mmn = 1

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 25 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 15 kN/m و k₂ = 5 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 2,17 m/s²

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1600) = 2,17 m/s²

الإجابة

a = 2,17 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: d = 103,7 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(4,9 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1681 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1681))/(2·4,905) = 4,598 s

العمق

d = ½·9,81·4,598² = 103,7 m

الإجابة

d = 103,7 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,355 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

الإجابة

a = 3,355 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,102 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/7 = 2,102 m/s²

الإجابة

a = 2,102 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 40,01 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·125/sin 130°) = 40,01 m/s

الإجابة

v₀ = 40,01 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 133,9 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 25° = 31,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 25° = 14,79 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 25 + 14,79·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,79 + √(218,8 + 490,5))/9,81 = 4,223 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 31,72·4,223 = 133,9 m

الإجابة

x = 133,9 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 20,3 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·105) = 20,3 m/s

الإجابة

v_max = 20,3 m/s (73,07 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 47,31 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·7,5²/1,5 = 9,81 + 37,5 = 47,31 N

الإجابة

T = 47,31 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 10,19 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·1000·0,1² = 5 J

الارتفاع

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 5/0,4905 = 10,19 m

الإجابة

h = 10,19 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 5,362 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 20,73 N

μ·mg·cos θ = 13,34 N

الشغل والطاقة

½mv² = (70 − 34,07)·2 = 71,87 J

v = √(2·71,87/5) = 5,362 m/s

الإجابة

v = 5,362 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 4,154 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4,5 − 2)/(4,5 + 2)·3 = 1,154 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 2)·3 = 4,154 m/s

الإجابة

v′₂ = 4,154 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 16,92 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·9,5) = 10,58 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·10,58/2000 = 16,92 m/s

الإجابة

v₁ = 16,92 m/s

(60,91 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 171 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·13,5·157,1² = 166550 J

θ = 166550/155 = 1075 rad

الدورات

N = θ/2π = 171 rev

الإجابة

N = 171 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 22,85 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 3,5·sin 20° = 1,197 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·1,197/2) = 3,427 m/s

ω = v/r = 3,427/0,15 = 22,85 rad/s

الإجابة

ω = 22,85 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 19,56 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/303,7 = 18,11 N·m

عزم الخرج

T₂ = 18,11·45/40·0,96 = 19,56 N·m

الإجابة

T₂ = 19,56 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 192 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 960·16/60 = 256 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 256·18/24 = 192 rpm

الإجابة

n_out = 192 rpm

النسبة الكلية = 5 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = 3,861 cm

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(280/3,2) = 9,354 rad/s

ω·t = 9,354·0,7 = 6,548 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(6,548) = 3,861 cm

الإجابة

x = 3,861 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: K = 0,924 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·330·0,15² = 3,712 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·330·0,13² = 2,788 J

الطاقة الحركية

K = 3,712 − 2,788 = 0,924 J

الإجابة

K = 0,924 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1193

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(10/4,7) = 0,755

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,755/√(39,48 + 0,5701) = 0,1193

الإجابة

ζ = 0,1193

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,751 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 15 + 5 = 20 kN/m

k_eq = 20·25/(20 + 25) = 11,11 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(11111/20) = 23,57 rad/s

f_n = 23,57/(2π) = 3,751 Hz

الإجابة

f_n = 3,751 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics