أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
سائقة تسير بسرعة 54 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1,1 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 5,5 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.
تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 12 m/s من حافة سطح يرتفع 25 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.
ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 6 m/s ويتوقّف بعد 6,1 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.
جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 130 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 4 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 3 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,2 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.
تُقذف كرة بزاوية 70° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.
تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 50 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.
سيارة كتلتها 1000 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 14 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 100 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.
كرة كتلتها 1,5 kg مربوطة بخيط طوله 1,2 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 6,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.
ينزلق جسم كتلته 4 kg مسافة 11 m على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل Wf المبذول ضد الاحتكاك.
جسم كتلته 20 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 25° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 275 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 2 m إلى أعلى المنحدر.
تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 1 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 10 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.
كرة كتلتها 0,4 kg تصطدم بجدار بسرعة 16 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 12 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد متوسط القوة Favg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.
يعطي محرّك عزمًا مقداره 1730 N·m بسرعة 1900 rpm. أوجد قدرة خرجه P بوحدة kW.
قضيب نحيف منتظم كتلته 9 kg وطوله 1,6 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 40 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 540 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,69 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.
عمودان متوازيان المسافة بينهما 225 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 5 mm وتخفيض سرعة 4 : 1. كم سنًّا N2 يجب أن يكون للترس الكبير؟
في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (32 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1500 rpm الترسَ B (45 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (30 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج nout.
كتلة مقدارها 2,9 kg على نابض k = 190 N/m تُسحب 14 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,4 s (مع الإشارة).
كتلة مقدارها 3,6 kg على نابض k = 230 N/m تُسحب 7 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.
في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 20 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 3 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.
كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 20 kN/m و k₂ = 10 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
الإجابة: d = 36,95 m
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
الإجابة: t = 3,791 s
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.
الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.
الإجابة: μ = 0,3008
قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.
الإجابة: T = 55,71 N
قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.
مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
الإجابة: H = 58,33 m
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.
في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: vy² = 2gH.
الإجابة: t = 4,239 s
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.
حلّ y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.
الإجابة: N = 7850 N
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.
تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.
الإجابة: T = 67,53 N
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.
الإجابة: Wf = 49,6 J
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: v = 5,268 m/s
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: v = 118,1 m/s
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
الإجابة: Favg = 280 N
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
الإجابة: P = 344,2 kW
الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.
الإجابة: ω = 1,936 rad/s
التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.
قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.
الإجابة: N2 = 72
هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: Ft = 2T/d.
الإجابة: nout = 888,9 rpm
مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.
النسبة الكلية = 1,687 : 1
الإجابة: x = −13,94 cm
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: E = 0,5635 J
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: ζ = 0,1493
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الإجابة: fn = 8,717 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics