الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 250 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 2400 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 250 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 10 m/s من حافة سطح يرتفع 30 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 4 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على منحدر يميل 35° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 65° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 14 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 30 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 13 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 4 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معدّل دوران n بالدورات في الدقيقة.

r = 4 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 4 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 4 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 2 m على المنحدر.

θ = 20°μ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2 kg من السكون على ارتفاع 3 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 5 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 2500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 2 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0,25k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 4 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 22 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 3 kg إلى الأمام بسرعة 63 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 1 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 4 kgu = 22 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 63 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1700 kg تسير شرقًا بسرعة 17 m/s بسيارة كتلتها 900 kg تسير شمالًا بسرعة 13 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1700 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 11 kg·m² تدور بسرعة 2300 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 185 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 11 kg·m²n = 2300 rpmT_b = 185 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 23 kg، ونصف قطره 0,25 m) يدور بحرية بسرعة 900 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 1 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. أوجد سرعتهما المشتركة n₂ بوحدة rpm.

M_disc = 23 kgM_ring = 1 kgR = 0,25 mn₁ = 900 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 96 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 4 mm وتخفيض سرعة 2 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 96 mmm = 4 mmi = 2

N₂ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (36 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1440 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (36 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1440 rpmA = 36B = 72C = 36D = 48

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,2 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

رصاصة كتلتها 8 g تتحرّك بسرعة 450 m/s تصطدم بكتلة مقدارها 3,5 kg ساكنة على سطح أملس وتستقر فيها. الكتلة موصولة بنابض أفقي k = 2000 N/m. أوجد سعة الاهتزاز الناتج A بوحدة cm.

m = 8 gv = 450 m/sM = 3,5 kgk = 2000 N/m

A = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 8 kg على نابض جساءته 20 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,6. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 8 kgk = 20 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 20 kN/m و k₂ = 12 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 1,005 m/s²

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·2400) = 1,005 m/s²

الإجابة

a = 1,005 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,694 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−30 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 30 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,694 s

الإجابة

t = 3,694 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,896 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0,15·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1061) = 5,896 m/s²

الإجابة

a = 5,896 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,043 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 34,34 N

m₁·g·sin θ = 14,07 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,009 N

تسارع النظام

a = (34,34 − 14,07 − 2,009)/6 = 3,043 m/s²

الإجابة

a = 3,043 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 2,587 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 65° = 5,917 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 65° = 12,69 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·12,69/9,81 = 2,587 s

الإجابة

t = 2,587 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 3,223 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 30° = 11,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 30° = 6,5 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 30 + 6,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,5 + √(42,25 + 588,6))/9,81 = 3,223 s

الإجابة

t = 3,223 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: n = 19,31 rpm

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·4)) = 2,022 rad/s

معدّل الدوران

n = ω·60/(2π) = 19,31 rpm

الإجابة

n = 19,31 rpm

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 10 m

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·4 = 10 m

الإجابة

h_min = 10 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 2,459 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,342 − 0,2·0,9397)) = 2,459 m/s

الإجابة

v = 2,459 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 16,57 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 19,62·(3 − 0,25·5) = 34,34 J

أقصى انضغاط

½kx² = 34,34 → x = √(2·34,34/2500) = 0,1657 m = 16,57 cm

الإجابة

x = 16,57 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −101 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 4·22 = 88 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

88 = 3·63 + 1·v′₂

v′₂ = (88 − 189)/1 = −101 m/s

الإجابة

v′₂ = −101 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 22,04 °

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1700·17 = 28900 kg·m/s

p_y = 900·13 = 11700 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 0,4048 → θ = 22,04°

الإجابة

θ = 22,04°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 274,5 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2300/60 = 240,9 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·11·240,9² = 319062 J

θ = 319062/185 = 1725 rad

الدورات

N = θ/2π = 274,5 rev

الإجابة

N = 274,5 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 828 rpm

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·23·0,25² = 0,7188 kg·m²

I₂ = 1·0,25² = 0,0625 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 900·0,7188/0,7813 = 828 rpm

الإجابة

n₂ = 828 rpm

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 32

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·96/4 = 48

قسّم وفق النسبة

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

N₂ = 2·16 = 32

الإجابة

N₂ = 32

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 540 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1440·36/72 = 720 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 720·36/48 = 540 rpm

الإجابة

n_out = 540 rpm

النسبة الكلية = 2,667 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,198 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

الإجابة

T = 2,198 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: A = 4,298 cm

السرعة بعد الاصطدام

V = m·v/(m + M) = 0,008·450/3,508 = 1,026 m/s

التردد الزاوي

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/3,508) = 23,88 rad/s

السعة

A = V/ω = 1,026/23,88 = 0,04298 m = 4,298 cm

الإجابة

A = 4,298 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 6,366 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(20000/8) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,6²) = 6,366 Hz

الإجابة

f_d = 6,366 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 9,003 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 12 = 32 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(32000/10) = 56,57 rad/s

f_n = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

الإجابة

f_n = 9,003 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics