الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 220 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1900 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 60 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 24 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 60 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 6 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 6 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 10 kg على منحدر يميل 30° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 7,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 10 kgm₂ = 7,5 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 36 m/s ويجب أن تهبط على بعد 110 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 36 m/sR = 110 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 31 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 9 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 31 m/sθ = 65°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 100 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 100 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 2,35 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 0,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 2 kgh = 2,35 mR = 0,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 70 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,4. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 70 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1 m (μ = 0,2) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 10 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0,2k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 2000 kg تتحرّك بسرعة 5 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1800 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 2000 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,35 kg تصطدم بجدار بسرعة 15 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 14 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,35 kgv_in = 15 m/sv_out = 14 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 68 kW بسرعة 600 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 68 kWn = 600 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 4 kg وطوله 0,7 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 25 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 440 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,38 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 4 kgL = 0,7 mm = 25 gv = 440 m/sd = 0,38 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 0,37 kW بسرعة 1440 rpm يدير دودة لها 1 مدخل (مداخل). للعجلة الدودية 50 سنًّا وكفاءة نقل الحركة 75%. أوجد عزم الخرج T_w على عمود العجلة.

z = 1N_w = 50n = 1440 rpmP = 0,37 kWη = 75%

T_w = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (30 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 2880 rpm ويدير الترس B (40 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 2025 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 2880 rpmA = 30B = 40C = 30n_out = 2025 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 2 m زمنه الدوري 2,98 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 2 mT = 2,98 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,5 kg على نابض k = 250 N/m تُسحب 11 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 3,5 kgk = 250 N/mA = 11 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 15,6 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₅ = 15,6 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 20 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 10 kN/m و k₂ = 5 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 0,9828 m/s²

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v = 220/3,6 = 61,11 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 61,11²/(2·1900) = 0,9828 m/s²

الإجابة

a = 0,9828 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: y = 29,34 m

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

60 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 60/24 = 2,5 s

ارتفاع الالتقاء

y = 24·2,5 − ½·9,81·2,5² = 29,34 m

الإجابة

y = 29,34 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,631 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

الإجابة

a = 3,631 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 70,35 N

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 49,05 N

μ·m₁·g·cos θ = 16,99 N

تسارع النظام

a = (73,58 − 49,05 − 16,99)/17,5 = 0,4305 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 0,4305) = 70,35 N

الإجابة

T = 70,35 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 28,19 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·110/36² = 0,8326

الزاوية

2θ = 56,37° → θ = 28,19°

الإجابة

θ = 28,19°

الحل الآخر 90° − θ = 61,81°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 70,58 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 13,1 m/s, v_y = 28,1 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

9 = 28,1·t − 4,905·t²

t = (28,1 + √(28,1² − 2·9,81·9))/9,81 = 5,387 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 13,1·5,387 = 70,58 m

الإجابة

x = 70,58 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 28,01 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·100) = 28,01 m/s

الإجابة

v_max = 28,01 m/s (100,9 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 204 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·2,35 = 46,11 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 2·46,11/0,5 + 19,62 = 204 N

الإجابة

N_bottom = 204 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 48,18 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,4·9,81) = 48,18 m

الإجابة

d = 48,18 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 68,62 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,2·1) = 470,9 J

أقصى انضغاط

½kx² = 470,9 → x = √(2·470,9/2000) = 0,6862 m = 68,62 cm

الإجابة

x = 68,62 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 11842 J

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·5/3800 = 2,632 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·2000·5² = 25000 J

K_after = ½·3800·2,632² = 13158 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 25000 − 13158 = 11842 J

الإجابة

ΔK = 11842 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 253,7 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,35·(14 + 15) = 10,15 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 10,15/0,04 = 253,7 N

الإجابة

F_avg = 253,7 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 1082 N·m

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

العزم

T = P/ω = 68000/62,83 = 1082 N·m

الإجابة

T = 1082 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 6,363 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 4·0,7²/3 + 0,025·0,38² = 0,6569 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,025·440·0,38/0,6569 = 6,363 rad/s

الإجابة

ω = 6,363 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_w = 92,01 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 1440·1/50 = 28,8 rpm

عزم الخرج

ω_w = 2π·28,8/60 = 3,016 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·370/3,016 = 92,01 N·m

الإجابة

T_w = 92,01 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 32

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 2880·30/40 = 2160 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 30·2160/2025 = 32

الإجابة

N_D = 32

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 8,891 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2,98² = 8,891 m/s²

الإجابة

g = 8,891 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 1,512 J

التردد الزاوي

ω = √(250/3,5) = 8,452 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·250·0,11² = 1,512 J

الإجابة

E = 1,512 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,02996

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(40/15,6) = 0,1883

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1883/√(39,48 + 0,03547) = 0,02996

الإجابة

ζ = 0,02996

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,084 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 10 + 5 = 15 kN/m

k_eq = 15·20/(15 + 20) = 8,571 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(8571/50) = 13,09 rad/s

f_n = 13,09/(2π) = 2,084 Hz

الإجابة

f_n = 2,084 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics