الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 60 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 6,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 60 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 15 m/s من حافة سطح يرتفع 35 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 30 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 20° فوق الأفق بقوة 70 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 30 kgF = 70 Nθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 9,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 16 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق نحو جدار على بعد 18 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 16 m/sθ = 60°x = 18 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 34 m/s وبزاوية 70° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 34 m/sθ = 70°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 140 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 140 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 1,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 14,1 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 3 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 1,5 kgh = 14,1 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 500 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,1 kg ويُضغط النابض بمقدار 8 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 0,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 14 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 0,5 kgh = 14 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4 kg يتحرك بسرعة 4 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1500 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 7,5 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1500 kgd = 7,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

يعطي محرّك عزمًا مقداره 640 N·m بسرعة 400 rpm. أوجد قدرة خرجه P بوحدة kW.

T = 640 N·mn = 400 rpm

P = kW

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 15° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². يبدأ من السكون. كم من الوقت t يستغرق ليتدحرج 1 m إلى أسفل المنحدر؟

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 1 m

t = s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,1 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 24 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 36 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 1,1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 96%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 20 سنًّا ولكل ترس كوكبي 30 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 3000 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي n_r (مقدارها).

N_s = 20N_p = 30n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 0,3 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 0,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 410 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 10 cm. أوجد طاقتها الحركية K عندما تكون على بعد 1 cm من موضع الاتزان.

k = 410 N/mA = 10 cmx = 1 cm

K = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 2 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 180 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 2 kgk = 100 kN/mc = 180 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 60 kN/m والسفلي k₂ = 80 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 2,564 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/6,5 = 2,564 s

الإجابة

t = 2,564 s

2.علم الحركة

الإجابة: t = 4,607 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−35 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 35 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,607 s

الإجابة

t = 4,607 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,291 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 70·sin 20° = 270,4 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 65,78 − 27,04

a = 38,74/30 = 1,291 m/s²

الإجابة

a = 1,291 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 31,36 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 23,3)/13 = 0,8489 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·0,8489 + 23,3 = 31,36 N

الإجابة

T = 31,36 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 6,345 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

الزمن حتى الجدار

v_x = 16·cos 60° = 8 m/s

t = x/v_x = 18/8 = 2,25 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 13,86·2,25 − ½·9,81·2,25² = 6,345 m

الإجابة

y = 6,345 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 62,03 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 34·sin 70° = 31,95 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 31,95²/(2·9,81) = 52,03 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 10 + 52,03 = 62,03 m

الإجابة

H = 62,03 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 23,44 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·140) = 23,44 m/s

الإجابة

v_max = 23,44 m/s (84,38 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 153 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·14,1 = 276,6 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 1,5·276,6/3 + 14,71 = 153 N

الإجابة

N_bottom = 153 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 1,631 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·500·0,08² = 1,6 J

الارتفاع

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 1,6/0,981 = 1,631 m

الإجابة

h = 1,631 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 2,943 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(14 − 10) = 78,48 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·78,48/5 − 4,905 = 2,943 N

الإجابة

N = 2,943 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −0,4444 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·4 = −0,4444 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·4 = 3,556 m/s

الإجابة

v′₁ = −0,4444 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 27,12 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·7,5) = 10,85 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·10,85/1000 = 27,12 m/s

الإجابة

v₁ = 27,12 m/s

(97,65 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: P = 26,81 kW

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

القدرة

P = T·ω = 640·41,89 = 26808 W = 26,81 kW

الإجابة

P = 26,81 kW

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 1,05 s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,4 = 1,814 m/s²

الزمن

s = ½·a·t² → t = √(2·1/1,814) = 1,05 s

الإجابة

t = 1,05 s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 10,5 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

عزم الخرج

T₂ = 7,295·36/24·0,96 = 10,5 N·m

الإجابة

T₂ = 10,5 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_r = 750 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·30 = 80

معادلة ويليس مع تثبيت الحامل

مع n_c = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·20/80 = −750 rpm

|n_r| = 750 rpm

الإجابة

n_r = 750 rpm

تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 1,099 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(0,3/9,81) = 1,099 s

الإجابة

T = 1,099 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: K = 2,03 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·410·0,1² = 2,05 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·410·0,01² = 0,0205 J

الطاقة الحركية

K = 2,05 − 0,0205 = 2,03 J

الإجابة

K = 2,03 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,2012

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·2) = 894,4 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 180/894,4 = 0,2012

الإجابة

ζ = 0,2012

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 34,29 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/80 → k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34,29 kN/m

الإجابة

k_eq = 34,29 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics